Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分別是棱CD和PC的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先推導(dǎo)出四邊形ABED是矩形，從而AB⊥平面PAD，進而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能證明平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，利用向量法能求出直線PD與平面PBC所成的角的正弦值．

解答 證明：（1）∵BC=BD，E為CD中點，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四邊形ABED是矩形，
∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，
∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，且CD⊥AD，
又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，
∵EF∩BE=E，∴EF?平面BEF，BE?平面BEF，
又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，
∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)角系，
∵PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，
∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{6-2}$=2，AD=BE=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{6-2}$=2，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
則P（0，-1，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}，-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}，2，0$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{2}x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為θ，
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-3-1}{\sqrt{12}•\sqrt{\frac{10}{3}}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，則中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．