設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+
3
sinxcosx
,x∈R
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期,并求f(x)在區(qū)間[-
π
4
,
π
6
]
上的最小值;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,A為銳角,若f(A)+f(-A)=
3
2
,b+c=7,△ABC的面積為2
3
,求a.
分析:(1)函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)f(x)的最小正周期;由x的范圍求出這個(gè)角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象求出f(x)的最小值即可;
(2)根據(jù)f(A)+f(-A)=
3
2
,由第一問確定的函數(shù)解析式求出cos2A的值,利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出sinA的值,利用三角形面積公式表示出三角形ABC的面積,將sinA與已知面積代入求出bc的值,再由余弦定理列出關(guān)系式,將bc的值與b+c的值,以及cosA的值代入計(jì)算即可求出a的值.
解答:解:(1)f(x)=sin2x+
3
sinxcosx=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x=
1
2
+sin(2x-
π
6
),
∵ω=2,∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π;
∵x∈[-
π
4
π
6
],∴2x-
π
6
∈[-
3
,
π
6
],
則當(dāng)2x-
π
6
=-
π
2
時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
4
,
π
6
]上的最小值為-
1
2
;
(2)由f(A)+f(-A)=
3
2
得:1-sin(2A+
π
6
)+sin(2A-
π
6
)=
3
2

化簡得:cos2A=-
1
2

又∵0<A<
π
2
,∴sin2A=
1-cos2A
2
=
3
4
,即sinA=
3
2
,cosA=
1
2
,
由題意知:S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc=2
3
,
解得:bc=8,
又b+c=7,
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)=25,
∴a=5.
點(diǎn)評:此題考查了余弦定理,以及三角函數(shù)的恒等變換,涉及的知識有:三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域與值域,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)
b
=(
3
,2cosωx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)
的圖象關(guān)于直線x=
π
2
對稱,其中ω為常數(shù),且ω∈(0,1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)若將y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="jph37n3" class="MathJye">
1
6
,再將所得圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=h(x)的圖象,若關(guān)于x的方程h(x)+k=0在區(qū)間[0,
π
2
]
上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinα
,-
1
2
)
b
=(1
,2cosα),
a
b
=
1
5
α∈(0,
π
2
)

(1)求sin2α及sinα的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=5sin(-2x+
π
2
+α)+2cos2x
(x∈[
π
24
π
2
])
,求x為何值時(shí),f(x)取得最大值,最大值是多少,并求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx•sinφ-2sinx•sin2
φ
2
(|φ|<
π
2
)
x=
π
3
處取得極大值.
(Ⅰ)求φ的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對邊且a=1,b=
3
,f(A)=
3
2
,求A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練17練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),y=f(x)圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為.

(1)求ω的值;

(2)f(x)在區(qū)間[π,]上的最大值和最小值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練17練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(xR)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(,1).

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(,0),求函數(shù)f(x)的值域.

 

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