Question

15．函數(shù)f（x）=（x-2）（ax+b）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增，則f（2-x）＞0的解集為（　　）

• A． {x|-2＜x＜2}
• B． {x|x＞2，或x＜-2}
• C． {x|0＜x＜4}
• D． {x|x＞4，或x＜0}

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，判斷a，b的關(guān)系和符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=（x-2）（ax+b）=ax²+（b-2a）x-2b，
∵函數(shù)f（x）=（x-2）（ax+b）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即ax²-（b-2a）x-2b=ax²+（b-2a）x-2b，
得-（b-2a）=（b-2a），即b-2a=0，則b=2a，
則f（x）=ax²-4a，
∵f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴a＞0，
由f（2-x）＞0得a（2-x）²-4a＞0，
即（2-x）²-4＞0，
得x²-4x＞0，得x＞4或x＜0，
即不等式的解集為{x|x＞4，或x＜0}，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)求出a，b的關(guān)系和符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．