Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，對稱中心；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐際縮短倒原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π）的圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得 cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，可得 φ的值．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的單調(diào)性和圖象的對稱性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間以及f（x）的圖象的對稱中心．
（3）由條件利用函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π）的圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），
可得 $\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-φ）=$\frac{1}{2}$，即 cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，可得f（x）的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，0），k∈Z．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐際縮短倒原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{1}{2}$cos（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，4x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng)4x-$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$時，函數(shù)g（x）取得最小值為-$\frac{1}{4}$，當(dāng)4x-$\frac{π}{4}$=0時，函數(shù)g（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，余弦函數(shù)的單調(diào)性和圖象的對稱性，余弦函數(shù)的最值，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．