Question

如圖，已知|AB|=10，圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，n，…．利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點的雙曲線．若其中經(jīng)過點M、N、P的雙曲線的離心率分別是e_M，e_N，e_P．則它們的大小關系是

 

（用“＜”連接）．

Answer 1

分析：首先根據(jù)雙曲線的定義得出c=5，然后數(shù)格子，得出||PA|-|PB||=2a=4，||MA|-MB||=2a=8，：||NA|-|NB||=2a=2，進而求出各自的離心率．

解答：解：由題意可知：所有的雙曲線的焦距一定為|AB|=10 即2c=10 
∴c=5
一下是各點的對應表：【指經(jīng)過該點的圓的半徑】
           以A為圓心的圓的半徑               以B為圓心的圓的半徑
對P：7                                     3
對M：2                                     10
對N：5                                      7
所以由橢圓的第一定義得到：
對過P點的雙曲線：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4       a=2        e_P=

c

a

=

5

2

對過M點的雙曲線：||MA|-MB||=2a=|2-10|=8      a=4        e_M=

5

4

對過N點的雙曲線：||NA|-|NB||=2a=|5-7|=2         a=1     e_N=5
所以顯而易見：e_N＞e_P＞e_M
故答案為：e_M＜e_P＜e_N

點評：本題考查了雙曲線的定義以及簡單性質(zhì)，根據(jù)格子確定a的值，和真正懂得雙曲線的定義，是解題的關鍵，屬于基礎題．