Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx），x∈R．
（Ⅰ）若α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且cosα=$\frac{1}{3}$，求f（$\frac{α}{2}$）的值；
（Ⅱ）已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=$\sqrt{3}$，a=4，求△ABC的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的由于化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），從而可求f（$\frac{α}{2}$）=sinα-$\sqrt{3}$cosα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，進而計算得解f（$\frac{α}{2}$）的值．
（Ⅱ）由題意可求sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合A的范圍可求A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{π}{2}$，利用余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式即可計算求值得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=（sinx-$\sqrt{3}$cosx）cosx+sinx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且cosα=$\frac{1}{3}$，可得：sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）=sinα-$\sqrt{3}$cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\sqrt{3}×\frac{1}{3}$=-$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可得：sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{π}{2}$，
當A=$\frac{π}{3}$時，a=4，利用余弦定理可得：16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，（當且僅當b=c時等號成立），
可得：△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
當A=$\frac{π}{2}$時，a=4，由勾股定理可得b²+c²=16≥2bc，（當且僅當b=c時等號成立），解得：bc≤8，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc≤$\frac{1}{2}×8$=4．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．