Question

已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域為R；命題q：?m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥

m2+8

恒成立，如果命題“p∨q“為真命題，且“p∧q”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)的最值即可求出命題p，q下的a的取值范圍，根據(jù)p∨q為真，p∧q為假，即可得到p真q假和p假q真兩種情況，求出每種情況下的a的取值范圍，再求并集即可．

解答： 解：若命題p為真，則x²-4x+a²＞0的解集為R，∴△=16-4a²＜0，解得a＞2或a＜-2；
若命題q為真，因為m∈[-1，1]，所以

m2+8

≤3，
∵對于?m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥

m2+8

恒成立，只需滿足a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1；
∵命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則p，q一真一假；
①當p真q假時，可得

a＞2，或a＜-2 -1＜a＜6

，解得2＜a＜6；
②當p假q真時，可得

-2≤a≤2 a≥6，或a≤-1

，解得-2≤a≤-1；
綜合①②可得a的取值范圍是[-2，-1]∪（2，6）．
故答案為：[-2，-1]∪（2，6）．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．