Question

已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，曲線的參數方程是：（是參數).

（1）將曲線和曲線的方程轉化為普通方程；

（2）若曲線與曲線相交于兩點，求證；

（3）設直線交于兩點，且（且為常數），過弦的中點作平行于軸的直線交曲線于點，求證：的面積是定值．

 

Answer 1

（1）；；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先將極坐標方程轉化為，后由極坐標與普通方程轉化的關系式得出；由消去參數即可得到；（2）聯立方程消去得到，設，根據根與系數的關系得到，進而得到，再檢驗即可證明；（3）聯立方程，消得，進而得到，由得出，進而確定的坐標，最后計算可得結論.

（1）由極坐標方程可得

而，所以即

由消去參數得到

（2）設，聯立方程并消元得：

，

（3），消得，

由（且為常數），得

，又可得中點的坐標為

所以點，，面積是定值．

考點：1.極坐標；2.參數方程；3.直線與拋物線的位置關系；4.三角形的面積計算公式.