Question

21.在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

（1）求向量的坐標；

（2）求圓x²－6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；

（3）是否存在實數a,使拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

21.（1）設=（u,v）,則由，即,

得,或.

因為=+=（u+4,v－3）,

所以v－3>0,得v=8,故=（6,8）.

 

（2）由=（10,5），得B（10,5），于是直線OB方程為：y=x.

由條件可知圓的標準方程為：（x－3）²+（y+1）²=10,得圓心（3,－1），半徑為.

設圓心（3,－1）關于直線OB的對稱點為（x, y）,則

,得,

故所求圓的方程為（x－1）²+（y－3）²=10.

 

（3）設P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則

,得.

即x₁、x₂為方程x²+x+=0的兩個相異實根，于是由Δ=－4·>0,得a>.

故當a>時，拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點.