(2007，全國(guó)Ⅰ，21)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、．過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P．

(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，證明：；

(2)求四邊形ABCD的面積的最小值．

答案：略
解析：

解析：(1)橢圓的半焦距．

由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線(xiàn)段為直徑的圓上，故，所以，

．

(2)①當(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時(shí)，BD的方程為

，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得

．

設(shè)，則，

．

；因?yàn)?/FONT>AC與BD相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為，所以，

．

四邊形ABCD的面積

，

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．

②當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4．綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．


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