Question

17．已知f（x）=（1+a^x）²•a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求值域．

Answer 1

分析 （1）首先將函數(shù)化簡，然后根據(jù)奇偶函數(shù)定義，判斷f（x）與f（-x）的關系即可；
（2）經(jīng)化簡后發(fā)現(xiàn)f（x）非初等函數(shù)，且含有字母常量a，所以應利用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性比較簡單一些，然后根據(jù)單調(diào)性求出值域．

解答 解：（1）化簡f（x）得λf（x）=（1+a^x）²•a^-x=（a^2x+2a^x+1）•a^-x=a^x+a^-x+2；
∴f（x）=a^x+a^-x+2，f（-x）=a^-x+a^-（-x）+2，即f（x）=f（-x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=a^x+a^-x+2的定義域為R，
∴f′（x）=a^x•lna-a^-x•lna，∴f′（x）=0即a^x•lna-a^-x•lna=0有解為x=0；
由于f′（x）=a^x•lna-a^-x•lna=（a^x-a^-x）•lna，討論如下：
①當0＜a＜1時，f′（x）在（-∞，0）上小于0，故f（x）在（-∞，0）為單調(diào)減函數(shù)；
f′（x）在[0，+∞）上大于等于0，故f（x）在[0，+∽）為單調(diào)增函數(shù)；
②當a＞1時，f′（x）在（-∞，0）上小于0，故f（x）在（-∞，0）為單調(diào)減函數(shù)；
f′（x）在[0，+∞）上大于等于0，故f（x）在[0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；
綜上所述：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在[0，+∞）單調(diào)遞增；
∴函數(shù)在x=0時有最小值f（0）=4，
故函數(shù)值域為[4，+∞）．

點評 此題考察利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)容，需要注意的是其含有字母常量a，所以在判斷其導數(shù)與0的關系時應謹慎．