Question

已知函數(shù)f（x）=1nx-ax．
（Ⅰ）若f（x）的最大值為1，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)l是函數(shù)f（x）=1nx-ax圖象上任意一點(diǎn)的切線，證明：函數(shù)f（x）=1nx-ax的圖象除該點(diǎn)外恒在直線l的下方．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵，①當(dāng)a≤0時(shí)，f^′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，因此函數(shù)在（0，+∞）上無最大值，不符合題意，應(yīng)舍去；
②當(dāng)a＞0時(shí)，，令f^′（x）=0，則．
當(dāng)時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，也即最大值．
∴=1，即，解得．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，lnx₀-ax₀）是曲線f（x）=lnx-ax的圖象上的任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線的斜率為，
∴切線為，化為y=g（x）=，
令h（x）=g（x）-f（x）=-（lnx-ax），
∴h^′（x）==，令h^′（x）=0，解得x=x₀．
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h^′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞x₀時(shí)，h^′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=x₀時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（x₀）==0，
∴g（x）≥f（x），函數(shù)f（x）=1nx-ax的圖象除切點(diǎn)外恒在直線l的下方．
分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論即可得出；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線的方程g（x）=0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），利用導(dǎo)數(shù)證明h（x）的最小值≥0即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值等性質(zhì)、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．