Question

如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個動點．若

OC

=x

OA

+y

OB

，求x+3y的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：可設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)已知條件，對

OC

=x

OA

+y

OB

兩邊平方即可得到y(tǒng)²+xy+x²-1=0，x∈[0，1]．根據(jù)y∈[0，1]，這個關(guān)于y的方程有解，并且解為y=

-x+ 4-3x2

2

，所以x+3y=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，可設(shè)f（x）=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，通過求導(dǎo)容易判斷f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以x+3y的值域便是[f（1），f（0）]=[1，3]．

解答： 解：設(shè)扇形的半徑為r；
考慮到C為弧AB上的一個動點，

OC

=x

OA

+y

OB

．顯然x，y∈[0，1]；
兩邊平方：

OC

2=r2=(x

OA

+y

OB

)2=x2r2+2xy

OA

•

OB

+y2r2；
所以：y²+x•y+x²-1=0，顯然△=4-3x²＞0；
∵y＞0，∴解得：y=

-x+ 4-3x2

2

，故x+3y=-

1

2

x+

3 4-3x2

2

；
不妨令f(x)=-

1

2

x+

3

2

4-3x2

，x∈[0，1]；
∴f′(x)=-

1

2

-

9x

2 4-3x2

＜0；
∴f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；
即x+3y的取值范圍為[1，3]．

點評：考查數(shù)量積的運算，由判別式判斷一元二次方程解的情況，求根公式解一元二次方程，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．