Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且S_n=$\frac{1}{2}（{n^2}+n），（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求使${T_n}＜\frac{37}{41}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1化簡，進(jìn)而可知a_n=n；
（Ⅱ）通過（I）裂項可知c_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{1}{2}（{n^2}+n），（n∈{N^*}）$，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$[（n-1）²+n-1]，
兩式相減得：a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{1}{2}$（2n-1+1）
=n，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$（1+1）=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（Ⅱ）由（I）可知${c_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴${T_n}＜\frac{37}{41}$即$\frac{n}{n+1}$＜$\frac{37}{41}$，
解得：n＜$\frac{37}{4}$，又n∈N^*，
∴n_max=9．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．