Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）當a=1，b=2時，求函數f（x）（x≠1）的值域，
（2）當a=0時，求f（x）＜1時，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當a=1，b=2時，f（x）= =x﹣1+ +5，（x≠1）

當x＞1時，即x﹣1＞0．

∴f（x）=x﹣1+ +5≥2 +5=2+5=7

當且僅當x﹣1= ，即x=2時取等號

當x＜1．

f（x）=x﹣1+ +5=5﹣[﹣（x﹣1）﹣ ]≤﹣2 +5=﹣2+5=3

當且僅當﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=0時取等號

所以函數f（x）的值域（﹣∞，3]∪[7，+∞）

（2）解：當a=0時，f（x）= ＜1，即 ＜0，（bx﹣2）（x﹣1）＜0

①當b=0時，解集為{x|x＞1}…（8分）

②當b＜0時，解集為{x|x＞1或x＜ }

③當 =1，即b=2，解集為

④當 ＞1，即0＜b＜2時，解集為{x|1＜x＜ }

⑤當0＜ ＜1，即b＞2時，解集為{x| ＜x＜1}

【解析】（1）根據分式的性質，利用分子常數化，轉化為基本不等式進行求解即可．（2）將分式不等式轉化為一元二次不等式，討論參數b的取值范圍進行求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．