Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則把y=f（x），x∈D叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）= x+ ，（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）已知[a，b]是正整數(shù)，且定義在（1，m）的函數(shù)y=k﹣ 是閉函數(shù)，求正整數(shù)m的最小值，及此時實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，y=x3在[a，b]上遞增，在[a，b]上的值域為[a，b]，

∴ ，求得 ．

所以，所求的區(qū)間[a，b]為[﹣1，1]

（2）解：取 x1=1，x2=10，則f（x1）= ＜ =f（x2），

即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．

取 x1= ，x2= ，則f（x1）= +10＜ +100=f（x2），

即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)，

所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)

（3）解：函數(shù)y=k﹣ 是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，使函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，

∵函數(shù)y=k﹣ 在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，即 ，

∴a，b為方程 的兩個實根，

即方程 在（1，m）上有兩個不等的實根．

由于 ，

考察函數(shù) ，∵函數(shù)g（x）在（1，2）上遞減，∴m＞2．

∵g（x）在（2，m）遞增，而函數(shù)y=g（x）與y=k在（1，m）有兩個交點， ，

∵ ，

所以正整數(shù)m的最小值為3，此時，g（3）= ，此時，k的范圍是（5， ）．

【解析】（1）由題意，y=x3在[a，b]上遞增，在[a，b]上的值域為[a，b]，故有 ，求得a、b的值，可得結(jié)論．（2）取 x1=1，x2=10，則由f（x1）= ＜ =f（x2），可得f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．同理求得f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．（3）由題意，可得方程 在（1，m）上有兩個不等的實根．利用基本不等式求得當(dāng)x=2時，k取得最小值為5．再根據(jù)函數(shù)g（x）在（1，2）上遞減，在（2，m）遞增，而函數(shù)y=g（x）與y=k在（1，m）有兩個交點，可得正整數(shù)m的最小值為3，此時，g（3）= ，由此求得k的范圍．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零)，還要掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．