Question

6．設正數(shù)a、b、c、d滿足a+b=cd=λ（λ為常數(shù)），若ab≤c+d且取等號時，a、b、c、d的取值唯一，則常數(shù)λ=4．

Answer 1

分析 根據(jù)均值不等式分別有a+b≥2$\sqrt{ab}$，c+d≥2$\sqrt{cd}$；則a，b，c，d滿足a+b=cd=4，進而可得2$\sqrt{ab}$≤a+b=cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²化簡即得，當且僅當a=b=c=d=2時取等號，問題得以解決．

解答 解：如果a，b是正數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：a+b≥2$\sqrt{ab}$，則（a+b）²≥4ab
如果c，d是正數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：c+d≥2$\sqrt{cd}$； 則cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²，
∵a，b，c，d滿足a+b=cd=λ，
∴2$\sqrt{ab}$≤a+b=cd≤（$\frac{c+d}{2}$）²，當且僅當a=b=c=d時取等號，
化簡即為：ab≤c+d且等號成立時a，b，c，d的取值唯一，
∴a=b=c=d=2時成立，
∴λ=4，
故答案為：4．

點評 本題考查均值不等式，能正用、逆用，而且還要會變用．使用時還要特別注意等號成立的條件．