Question

16．已知a＞0且 a≠1，函數(shù)f（x）=$\frac{3{a}^{x}+1}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{1+x}{1-x}$（-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$），設(shè)函數(shù)f（x）的最大值是A，最小值是B，則（　�。�

• A． A-B=4
• B． A+B=4
• C． A-B=6
• D． A+B=6

Answer 1

分析 討論0＜a＜1和a＞1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算法則進(jìn)行化簡即可．

解答 解：f（x）=$\frac{3{a}^{x}+1}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{3（{a}^{x}+1）-2}{{a}^{x}+1}$+3log_a$\frac{（x-1）+2}{1-x}$
=3-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$+3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$），
若a＞1，則-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$為增函數(shù)，3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上為增函數(shù)，
即f（x）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上為增函數(shù)，
此時函數(shù)的最大值A(chǔ)=f（$\frac{1}{2}$），最小值B=f（-$\frac{1}{2}$），
若0＜a＜1，則-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$為減函數(shù)，3log_a（-1-$\frac{2}{x-1}$）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上為減函數(shù)，
即f（x）在-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$上為減函數(shù)，
此時函數(shù)的最大值A(chǔ)=f（-$\frac{1}{2}$），最小值B=f（$\frac{1}{2}$），
則A+B=f（-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3{a}^{-\frac{1}{2}}+1}{{a}^{-\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3+{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{3{a}^{\frac{1}{2}}+1}{{a}^{\frac{1}{2}}+1}$+3log_a$\frac{1}{3}$+3log_a3
=$\frac{4+4{a}^{\frac{1}{2}}}{1+{a}^{\frac{1}{2}}}$+3log_a1
=4+0=4，
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用對應(yīng)的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．