Question

橢圓E的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2 3

，過點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩個(gè)不重合的點(diǎn)，且滿足：

CA

=λ

BC

．
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，若△ABO的面積為1，求E的方程；
（2）對于給定的常數(shù)λ（λ≠1），當(dāng)橢圓變化時(shí)，求△ABO面積的最大值，及對應(yīng)的E的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于e=

2 3

，焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓E的方程為x²+3y²=3a＞0．當(dāng)λ=1時(shí)，因?yàn)?span id="r1uoqcg" class="MathJye">

CA

=

BA

，可得：C為線段AB的中點(diǎn)，由對稱性可知：AB⊥x軸．故x₁=x₂=-1．把（-1，y₁）代入①可得1+3

y

2 1

=3a，解得|y₁|，利用S△OAB=

1

2

×1×2|y1|=

3a-1 3

=1，解得3a，即可得到橢圓的方程．
（2）當(dāng)λ≠1時(shí)，l存在斜率，可設(shè)l的方程為y=k（x+1）．與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由已知

CA

=λ

BC

可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用三角形的面積公式及其基本不等式可得：S△OAB=

1

2

×1×|y1-y2|=

|k(x1-x2)|

2

=

|k|

3k2+1

|

λ+1

λ-1

|≤

1

2 3

|

λ+1

λ-1

|，當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

3

時(shí)取等號(hào)．進(jìn)而解得x₁，y₁．代入橢圓方程即可得到3a用3λ表示．故S的最大值及其橢圓方程．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵e=

2 3

，焦點(diǎn)在x軸上，∴可設(shè)橢圓E的方程為x²+3y²=3a＞0．①
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，∵

CA

=

BA

，
∴C為線段AB的中點(diǎn)，由對稱性可知：AB⊥x軸．
故x₁=x₂=-1．
把（-1，y₁）代入①可得1+3

y

2 1

=3a，解得|y1|=

3a-1 3

，
∴S△OAB=

1

2

×1×2|y1|=

3a-1 3

=1，解得3a=4．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（2）當(dāng)λ≠1時(shí)，l存在斜率，可設(shè)l的方程為y=k（x+1）．

CA

=λ

BC

?（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂）?

x1+1=-λ(x2+1) y1=-λy2

 ②
聯(lián)立

y=k(x+1) x2+3y2=3a

消去y整理為（3k²+1）x²+6k²x+3（k²-a）=0．③
△=12[k²（3a-1）+a]＞0.x1+x2=-

6k2

3k2+1

，④
聯(lián)立②④得

x2+1= 2 (1-λ)(3k2+1) x1+1=- 2λ (1-λ)(3k2+1)

  ⑤
S△OAB=

1

2

×1×|y1-y2|=

|k(x1-x2)|

2

=

|k|

3k2+1

|

λ+1

λ-1

|≤

1

2 3

|

λ+1

λ-1

|，當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

3

時(shí)取等號(hào)．
代入⑤有

x1= 1 λ-1 y1=± 3 λ 3(λ-1)

.3a=

x

2 1

+3

y

2 1

=

λ2+1

(λ-1)2

．
（顯然λ≠-1，否則由

CA

=-

BC

可得點(diǎn)A與B重合，矛盾）．
此時(shí)，△=4(6a-1)=

4(1+λ)2

(1-λ)2

＞0成立．
故S的最大值為

3

6

|

λ+1

λ-1

|，
此時(shí)橢圓E的方程為x2+3y2=

λ2+1

(λ-1)2

．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．