對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)互不相等的凸n(n≥3)邊形的邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊有相同的顏色.所有不同的染色方法記為P(n)
(1)求P(3),P(4),P(5); 
(2)求P(n)

【答案】分析:(1)直接利用著色方案分別求出P(3),P(4),P(5); 
(2)直接利用類比推理,推出凸n(n≥3)邊形的邊染色與凸n-1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)Pn-1的關(guān)系,Pn=3×2n-1-Pn-1,然后求出染色方法數(shù)為Pn=2n+(-1)n•2,
解答:解  (1)對(duì)于邊a1,有3種不同的染法,由于邊a2的顏色與邊a1的顏色不同,
所以,對(duì)邊a2有2種不同的染法,第三邊有一種方法,所以P(3)=6,
類似四邊形時(shí)對(duì)于邊a1,有3種不同的染法,由于邊a2的顏色與邊a1的顏色不同,
對(duì)邊a2有2種不同的染法,第三邊有2種方法,如果與a1的顏色不同,則第四邊為1種染色方法,
如果與a1的顏色相同,第四邊有2種染色方法,P(4)=3×2×1×1+3×2×1×2=18,
類似可求P(5)=30; …(3分)
(2)設(shè)不同的染色法有Pn種.易知.
當(dāng)n≥4時(shí),首先,對(duì)于邊a1,有3種不同的染法,由于邊a2的顏色與邊a1的顏色不同,
所以,對(duì)邊a2有2種不同的染法,
類似地,對(duì)邊a3,…,邊an-1均有2種染法.對(duì)于邊an,用與邊an-1不同的2種顏色染色,
但是,這樣也包括了它與邊a1顏色相同的情況,
而邊a1與邊an顏色相同的不同染色方法數(shù)就是凸n-1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)Pn-1,
于是可得Pn=3×2n-1-Pn-1,
Pn-2n=(Pn-1-2n-1).
于是Pn-2n=(-1)n-3(P3-23)=(-1)n-1•(-2),
Pn=2n+(-1)n•2,n≥3.
綜上所述,不同的染色方法數(shù)為Pn=2n+(-1)n•2,.…(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查分步計(jì)數(shù)原理、分類計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,涉及幾何圖形有關(guān)的涂色問(wèn)題,分析時(shí)注意結(jié)合圖形分析.
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對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)互不相等的凸n(n≥3)邊形的邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊有相同的顏色.所有不同的染色方法記為P(n)
(1)求P(3),P(4),P(5); 
(2)求P(n)

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