Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|，命題p：關(guān)于x的不等式f（x）＞a對(duì)x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=x²-ax+4在區(qū)間[5，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）解不等式f（x）≤0；
（2）若命題“p或q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式等價(jià)為|x-3|≤|x+1|，兩邊平方得（x-3）²≤（x+1）²，解出不等式即可；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和分段函數(shù)的最值求出相應(yīng)a的范圍，再取并集即可．

解答 解：（1）由f（x）=|x-3|-|x+1|≤0得，
|x-3|≤|x+1|，兩邊平方得，
（x-3）²≤（x+1）²，解得x≥1，
所以，原不等式的解集為[1，+∞）；
（2）若命題p為真，則f（x）_min＞a，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x≥3}\\{2-2x，-1≤x＜3}\\{4，x＜-1}\end{array}\right.$，所以f（x）_min=-4，
因此，a＜-4；--------------①
若命題q為真，則二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{a}{2}$≤5，
解得，a≤10，--------------②
根據(jù)題意，命題“p或q”為真，則只需取①②的并集，
即a∈（-∞，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及復(fù)合命題真假的判斷，屬于中檔題．