Question

11．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）+2，當(dāng)x＞0時(shí)有f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a-2）＜3的解集．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，將f（x₂）變形成f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
將3轉(zhuǎn)化成f（1），然后利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，解不等式即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞2，
∴f（x₂-x₁）＞2，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
∵f（a-2）＜3
∴a-2＜1
∴a＜3，
故a的取值范圍為（-∞，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)，及其函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法，著重考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和函數(shù)恒成立問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．