已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一點到兩焦點距離之和為4，直線x+4=0為該橢圓的一條準(zhǔn)線．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，且
OA
•
OB
＞0（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（I）設(shè)橢圓C的半焦距為c，
由題意得
2a=4
a2
c
=4
，解得a=2，b=
3
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
y=kx+2
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
∵直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，
∴△=（16k）2-16（4k2+3）＞0，解得k2＞
1
4
，①
且有x1+x2=-
16k
4k2+3
，x1x2=
4
4k2+3
，
∴
OA
•
OB
=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2
=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）
=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
=
-12k2+16
4k2+3
＞0，
解得k2＜
3
4
，②
由①②得，
1
4
＜k2＜
4
3
，
解得-
2
3
3
＜k＜-
1
2
，或
1
2
＜k＜
2
3
3
，
∴斜率k的取值范圍是(-
2
3
3
，-
1
2
)∪(
1
2
，
2
3
3
)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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