Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB為正三角形，AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為線段PA，AE上一點(diǎn)，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）確定點(diǎn)G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）點(diǎn)Q為線段AB上一點(diǎn)，且BQ=2QA，若平面PCQ將四棱錐P-ABCD分成體積相等的兩部分，求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，在線段AD上取一點(diǎn)N，使得DN=2AN，從而FN∥PD，當(dāng)G為線段AE的靠近E的三等分點(diǎn)時(shí)，NG∥ME∥DC，由此求出G為線段AE的靠近E的三等分點(diǎn)，使得FG∥平面PCD．
（2）由V_C-DEF=V_F-CDE，能求出三棱錐C-DEF的體積．

解答 解：（1）G為線段AE的靠近E的三等分點(diǎn)，使得FG∥平面PCD．
證明如下：
取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，在線段AD上取一點(diǎn)N，使得DN=2AN，
∵PF=2FA，∴FN∥PD，則AN=$\frac{2}{3}$AM，
當(dāng)G為線段AE的靠近E的三等分點(diǎn)時(shí)，AG=$\frac{2}{3}AE$，NG∥ME∥DC，
∵FN∩NG=N，∴平面FNG∥平面PCD，
∵FG?平面FNG，∴FG∥平面PCD．
（2）∵三棱錐P-BCQ與四棱錐P-ADCQ的高相同，
∴△BCQ與四邊形ADCQ的面積相等，
設(shè)CD=x，則$\frac{1}{2}QB×AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（CD+AB）×AD$，
∵BQ=$\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$，∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×（x+2）$，解得x=$\frac{2}{3}$，
取AB中點(diǎn)O，∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，過F作FO′∥PO，交AB于O′，則FO′⊥平面ABCD，
∵PO=$\sqrt{3}$，PF=2FA，∴FO′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_C-DEF=V_F-CDE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．