Question

6．已知圓F的圓心坐標為（1，0），且被直線x+y-2=0截得的弦長為$\sqrt{2}$．
（1）求圓F的方程；
（2）若動圓M與圓F相外切，又與y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程；
（3）直線l與圓心M軌跡位于y軸右側的部分相交于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

分析 （1）設圓F的方程為（x-1）²+y²=r²，r＞0，運用弦長公式和點到直線的距離公式，即可得到半徑r，可得圓F的方程；
（2）由題意可得M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，即為M到點F的距離比它到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得拋物線的方程；
（3）設出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于-4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

解答 解：（1）設圓F的方程為（x-1）²+y²=r²，r＞0，
由圓心到直線x+y-2=0的距離為d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由弦長公式可得$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{2}}$，解得r=1，
可得圓F的方程為（x-1）²+y²=1；
（2）設M的坐標為（x，y），由動圓M與圓F相外切，又與y軸相切，
可得M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，
即為M到點F的距離比它到直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義，可得動圓圓心M的軌跡方程為y²=4x；
（3）證明：設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直線l過定點（2，0）．

點評 本題考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法和定義法，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查方程思想和向量數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．