Question

已知函數f（x）=x+

a2

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函數h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數a的值；
（Ⅱ）若對任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中為e自然對數的底數）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定義域為（0，+∞），知h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

，由x=1是函數h（x）的極值點，知3-a²=0，由此能求出a．
（Ⅱ）對任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）成立等價于f（x）_max＜g（x）_max．當x∈[1，e]時，g′(x)=1+

1

x

＞0，故函數g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數，g（x）_max=g（e）=e+1．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定義域為（0，+∞），…（1分）
∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

…（2分）
∵x=1是函數h（x）的極值點，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴a=

3

．                                          …（4分）
經檢驗當a=

3

時，x=1是函數h（x）的極值點，
∴a=

3

…（5分）
（Ⅱ）對任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等價于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
當x∈[1，e]時，g′(x)=1+

1

x

＞0，
∴函數g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，x∈[1，e]，a＞0
①當0＜a≤1時，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≥0，
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函數，
∴f(x)max=f(e)=e+

a2

e

e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，滿足題意；       …（9分）
②當1＜a＜e時，若1≤x＜a，則f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，則f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是減函數，在（a，e]上是增函數，
而f（1）=1+a²，f(e)=e+

a2

e

a）f（1）＜f（e）即1＜a＜

e

時，
f(x)max=f(e)=e+

a2

e

，e+

a2

e

＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即

e

≤a≤e時，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此時，f（x）_max≥g（x）_max，不合題意；               …（12分）
③當a≥e時，x∈[1，e]，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

≤0，
∴函數f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是減函數，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此時，f（x）_max＞g（x）_max，不合題意；                    …（13分）
綜上知，a的取值范圍為(0，

e

)．                             …（14分）

點評：本題考查利用導數求函數最的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．