Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•a_n+1，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+12恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

an

-

1

an-1

=3，n≥2，

1

a1

=1，由此能證明數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）由（1）得a_n=

1

3n-2

，從而b_n=a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法推導(dǎo)出λ＜3n+

12

n

+37，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
∴

1

an

-

1

an-1

=3，n≥2，
又

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
∴a_n=

1

3n-2

，
∵b_n=a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴T_n=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

）=

1

3

（1-

1

3n+1

），
∵λT_n＜n+12恒成立，
∴λ＜3n+

12

n

+37≤49（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取“=”），
解得λ＜49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．