Question

已知遞增數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*）且a₁+a₂+a₃=18，a₁a₂a₃=192．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=m^a_n（m為常數(shù)，m＞0且m≠1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）在（2）的條件下，若c_n=b_n•lgb_n且{c_n}的每一項(xiàng)都小于它的后一項(xiàng)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1+a3=12 a1a3=32

，解得a₁=4，a₃=8，由此能求出a_n=2n+2．
（2）由bn=m2n+2，能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）由已知當(dāng)n≥1時(shí)，（2n+2）lgm＜m²（2n+4）lgm，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知為等差數(shù)列，a₁+a₂+a₃=18，
得a₂=6，又a₁a₂a₃=192，
∴

a1+a3=12 a1a3=32

，又d＞0，解得a₁=4，a₃=8
∴a_n=2n+2
（2）∵b_n=m^a_n（m為常數(shù)，m＞0且m≠1），
∴bn=m2n+2，
∴Tn=

m4(1-m2n)

1-m2

（3）由已知當(dāng)n≥1時(shí)，c_n＜c_n+1，
即（2n+2）lgm＜m²（2n+4）lgm
當(dāng)m＞1時(shí)，m2＞

n+1

n+2

恒成立，即m＞1
當(dāng)0＜m＜1，m2＜

n+1

n+2

，即0＜m＜

6

3

綜上所述，0＜m＜

6

3

或m＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．