Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥D₁F；
（2）求證：AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G、FG，由正方體的性質(zhì)和平行四邊形的判定證出四邊形GFD₁A₁是平行四邊形，從而  A₁G∥D₁F．設(shè)A₁G、AE交于點(diǎn)H，在正方形ABA₁B₁中利用Rt△A₁AG≌Rt△ABE，證出∠GA₁A+∠A₁AE=90°，得∠AHA₁=90°即AE⊥A₁G，從而證出AE⊥D₁F；
（2）由正方體的性質(zhì)和線面垂直的定義證出A₁D₁⊥AE，結(jié)合AE⊥D₁F且A₁D₁、D₁F₁是平面A₁D₁F內(nèi)的相交直線，可得AE⊥平面A₁D₁F．

解答：解：（1）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G、FG
∵FG是正方形ABCD的對邊中點(diǎn)的連線，∴FG

∥

.

AD
∵A₁D₁

∥

.

AD，∴FG

∥

.

A₁D₁，可得四邊形GFD₁A₁是平行四邊形，
所以A₁G∥D₁F．
設(shè)A₁G與AE相交于點(diǎn)H，∠AHA₁是AE與D₁F所成的角．
∵正方形ABA₁B₁中，G、E分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，
∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE，得∠GA₁A=∠BAE=90°-∠A₁AE
∴∠GA₁A+∠A₁AE=90°，得∠AHA₁=90°即AE⊥A₁G，
結(jié)合A₁G∥D₁F，得AE⊥D₁F；
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，且AE?平面ABB₁A₁，
∴A₁D₁⊥AE，
又∵AE⊥D₁F，A₁D₁∩D₁F₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．

點(diǎn)評：本題給出正方體的棱的中點(diǎn)，求證線線垂直和線面垂直．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定和全等三角形等知識，屬于中檔題．