Question

10．在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
（I）求A的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得8cos²A+2cosA-3=0，從而解得cosA=$\frac{1}{2}$，由A為銳角，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式即可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時等號成立，從而得解．

解答 解：（I）∵sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
⇒$\frac{1-cos（π-A）}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$，
⇒8cos²A+2cosA-3=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$（A為銳角，舍去）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時等號成立，
∴bc的最大值為：3．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，余弦定理及基本不等式的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．