Question

9．已知命題p：實(shí)數(shù)m滿足：方程$\frac{{x}^{2}}{m-3a}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4a}$=1（a＞0）表示雙曲線；命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p、q是真命題時(shí)m的取值范圍，再根據(jù)￢p是￢q的必要不充分條件得出￢q是￢p的充分不必要條件，從而求出a的取值范圍．

解答 解：若方程$\frac{{x}^{2}}{m-3a}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4a}$=1（a＞0）表示雙曲線，
則有（m-3a）（m-4a）＜0（a＞0），
解得3a＜m＜4a；
由方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
則有2-m＞m-1＞0，
解得1＜m＜$\frac{3}{2}$；
由￢p是￢q的必要不充分條件，∴可知￢q是￢p的充分不必要條件，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
從而解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題利用充分、必要條件考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．