Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且有$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，則橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），G為△F₁PF₂的重心，可得G$（\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}）$．由$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，可得IG∥x軸，I的縱坐標為$\frac{{y}_{0}}{3}$，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：設P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點坐標為 G$（\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}）$，∵$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標為$\frac{{y}_{0}}{3}$，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
又∵I為△F₁PF₂的內(nèi)心，∴I的縱坐標即為內(nèi)切圓半徑，
∴S△F1PF2=$\frac{1}{2}$•（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）$|\frac{{y}_{0}}{3}|$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
（2a+2c）=3×2c，
∴2c=a，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、三角形的重心與內(nèi)心的性質(zhì)、三角形面積計算公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．