在△ABC中，A，B，C滿足 1+
sinAcosB
cosAsinB
=
2sinC
sinB
．
（I）求角A
（II）若
m
=(0，-1)，
n
=(cosB，cosC+1)，試求|
m
+
n
|的最小值．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由1+
sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，利用兩角和的正弦公式求出cosA的值，即可求得A的值．
（Ⅱ）先求出
m
+
n
=（cosB，cosC），化簡|
m
+
n
|2=1-
1
2
sin(2B-
π
6
)，再根據(jù)B的范圍求得B=
π
3
時，|
m
+
n
|2取得最小值
1
2
，從而得到|
m
+
n
|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵1+
sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，
即
sinBcosA+sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，∴
sin(A+B)
sinBcosA
=
2sinC
sinB
，∴cosA=
1
2
．（4分）
∵0＜A＜π，∴A=
π
3
．   （5分）
（Ⅱ）∵
m
+
n
=（cosB，cosC），（6分）
∴|
m
+
n
|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(
2π
3
-B)=1+
1
2
[cos2B+cos(
4π
3
-2B)] 
=1+
1
2
[cos2B-
1
2
cos2B-
3
2
sin2B]=1-
1
2
sin(2B-
π
6
)．      （8分）
∵A=
π
3
，∴B+C=
2π
3
，∴B∈(0，
2π
3
)，從而-
π
6
＜2B-
π
6
＜
7π
6
．（9分）
∴當sin(2B-
π
6
)=1，即B=
π
3
時，|
m
+
n
|2取得最小值
1
2
．      （11分）
所以，|
m
+
n
|的最小值為
1
2
．      （12分）
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，兩個向量的數(shù)量積的運算，求向量的模以及正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于
中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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