Question

【題目】已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，g（x）=[f（x）]2+f（x2），
（1）求g（x）的定義域；
（2）求g（x）的最大值以及g（x）取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)閇1，9]，

要使函數(shù)g（x）=[f（x）]2+f（x2）有意義，必須滿(mǎn)足：

可知1≤x≤3，

則g（x）的定義域?yàn)閇1，3]

（2）解：由f（x）的定義域?yàn)閇1，9]可得g（x）的定義域?yàn)閇1，3]，

又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3，

∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．

∴當(dāng)x=3時(shí)，g（x）有最大值13

【解析】（1）要使函數(shù)g（x）=[f（x）]2+f（x2）有意義，必須滿(mǎn)足 ，解不等式即可得到所求定義域；（2）根據(jù)f（x）的定義域?yàn)閇1，9]，先求出g（x）的定義域?yàn)閇1，3]，然后利用二次函數(shù)的最值再求函數(shù)g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3的最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�