Question

6．若數(shù)對(duì)（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N^*），對(duì)于?m∈Z，?x，y∈Z，使m=xa+yb成立，則稱數(shù)對(duì)（a，b）為全體整數(shù)的一個(gè)基底，（x，y）稱為m以（a，b）為基底的坐標(biāo)；
（Ⅰ）給出以下六組數(shù)對(duì)（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），寫出可以作為全體整數(shù)基底的數(shù)對(duì)；
（Ⅱ）若（a，b）是全體整數(shù)的一個(gè)基底，對(duì)于?m∈Z，m以（a，b）為基底的坐標(biāo)（x，y）有多少個(gè)？并說明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全體整數(shù)的一個(gè)基底，試寫出m的所有值，并說明理由．

Answer 1

分析 （ I）利用基底的定義可知：a，b互質(zhì)可以作為一個(gè)基底．
（ II）m以（a，b）為基底的坐標(biāo)（x，y）有無數(shù)個(gè)．若（a，b）為基底，對(duì)于?的整數(shù)m，?x₀，y₀∈Z，使m=x₀a+y₀b成立，可得（x₀+kb，y₀-kb），k∈Z，都是數(shù)m以（a，b）為基底的坐標(biāo)．利用等腰證明即可．
（ III）m=2k+1，k∈N^*，理由如下：首先，對(duì)任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全體整數(shù)的一個(gè)基底；利用反證法即可證明．利用定義即可證明，對(duì)所有滿足題意的正奇數(shù)，對(duì)任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全體整數(shù)的一個(gè)基底．

解答 解：（ I）利用基底的定義可知：a，b互質(zhì)可以作為一個(gè)基底，因此（2，3），（2，5），（3，5），（9，17）符合條件．
（ II）m以（a，b）為基底的坐標(biāo)（x，y）有無數(shù)個(gè)． 
∵（a，b）為基底，對(duì)于?的整數(shù)m，?x₀，y₀∈Z，使m=x₀a+y₀b成立，
即（x₀，y₀）為數(shù)m以（a，b）為基底的坐標(biāo)，則（x₀+kb，y₀-kb），k∈Z，都是數(shù)m以（a，b）為基底的坐標(biāo)，
證明如下：（x₀+kb）a+（y₀-ka）b=x₀a+y₀b+kba-kba=m，
∴（x₀+kb，y₀-ka），k∈Z，都是數(shù)m以（a，b）為基底的坐標(biāo)，有無數(shù)個(gè)．
（ III）m=2k+1，k∈N^*，理由如下：
首先，對(duì)任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全體整數(shù)的一個(gè)基底；反證法，
假設(shè)此時(shí)（2，m）是全體整數(shù)的一個(gè)基底，則?x，y∈Z，有1=2x+my成立，
而數(shù)2，m都為偶數(shù)，所以2x+my為偶數(shù)，不可能等于1，所以假設(shè)不成立，即對(duì)任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全體整數(shù)的一個(gè)基底．
下面證明，對(duì)所有滿足題意的正奇數(shù)，對(duì)任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全體整數(shù)的一個(gè)基底．
∵1=-k×2+1×（2k+1），即（-k，1）為數(shù)1以（2，2k+1）為基底的坐標(biāo)，對(duì)于?m∈Z，顯然（-km，m）為數(shù)m以（2，2k+1）為基底的坐標(biāo)，即?-km，m∈Z，使m=-km×2+m×（2k+1）成立，即對(duì)任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全體整數(shù)的一個(gè)基底．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義數(shù)對(duì)基底、反證法，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．