Question

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，$\overrightarrow{x}$=（a+c，c-b），$\overrightarrow{y}$=（sinA，sinB+sinC），且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
（′1）求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夾角θ；
（2）若a+c=2$\sqrt{3}$，求b取得最小值時(shí)，AC邊上的高h(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0和正弦、余弦定理，求出角B的大小，即可得出向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夾角θ；
（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式，求出b的最小值以及對應(yīng)AC邊上的高h(yuǎn)．

解答 解：（1）△ABC中，$\overrightarrow{x}$=（a+c，c-b），$\overrightarrow{y}$=（sinA，sinB+sinC），且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴（a+c）sinA+（c-b）（sinB+sinC）=0，
由正弦定理得（a+c）a+（c-b）（b+c）=0，
∴a²+ac+c²-b²=0，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$的夾角θ=π-B=$\frac{π}{3}$；
（2）△ABC中，B=$\frac{2π}{3}$，a+c=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=$\sqrt{3}$，∴b的最小值為3，
即b取得最小值3時(shí)，△ABC是腰長為$\sqrt{3}$、底邊為3的等腰三角形，
所以AC邊上的高h(yuǎn)=$\sqrt{3}$×sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．