Question

7．已知偶函數(shù)f（x）對任意x均滿足f（1+x）=f（1-x），當x∈[1，2]時，f（x）=x+1，若關于x的方程f（x）-log_a（x+5）=2有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （5，7）
• B． （4，6）
• C． （5，9）
• D． （4，7）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性之間的關系求出函數(shù)的周期性以及函數(shù)在一個周期上的解析式，利用函數(shù)和方程之間的關系轉化為f（x）-2=log_a（x+5），利用數(shù)形結合轉化為兩個函數(shù)有5個不同的交點，建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）對任意x均滿足f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=f（1-x）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期是2，
若0≤x≤1，則-1≤-x≤0，
則1≤2-x≤2，
則f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x+1=3-x，0≤x≤1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-x，}&{0≤x≤1}\\{x+1，}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
由f（x）-log_a（x+5）=2得f（x）-2=log_a（x+5），
設h（x）=f（x）-2，g（x）=log_a（x+5），
則函數(shù)h（x）在[0，2]上的解析式為h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，}&{0≤x≤1}\\{x-1，}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：
若0＜a＜1，則函數(shù)g（x）=log_a（x+5）與h（x）只有一個交點，不滿足條件．
若a＞1，要使方程f（x）-log_a（x+5）=2有5個不相等的實數(shù)根，
則等價為h（x）與g（x）有5個不同的交點，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞g（0）}\\{h（2）＜g（2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}5＜1}\\{lo{g}_{a}7＞1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞5}\\{1＜a＜7}\end{array}\right.$得5＜a＜7，
故選：A．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)的對稱性、周期性的確定及應用，考查轉化思想與作圖能力，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．屬于難題．