Question

18．設向量$\overrightarrow{c}$=$\frac{|\overrightarrow|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}$，若$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 不妨設$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，0），由于$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，可得$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1）．設$\overrightarrow{a}$=（x，y），利用向量$\overrightarrow{c}$=$\frac{|\overrightarrow|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}$，解出x，y，再利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：不妨設$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，0），∵$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1）．
設$\overrightarrow{a}$=（x，y），
∴向量$\overrightarrow{c}$=$（\sqrt{3}，0）$=$\frac{|\overrightarrow|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}$=$\frac{2（x，y）+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}（\sqrt{3}，1）}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+2}$，
∴$\sqrt{3}$$（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+2）$=2x+$\sqrt{3}$$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，0=2y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
解得x=$\sqrt{3}$，y=-1．
∴$\overrightarrow{a}$=$（\sqrt{3}，-1）$．
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{3}{2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．