【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣bx,其中a和b是實數(shù),曲線y=f(x)恒與x軸相切于坐標(biāo)原點.
(1)求常數(shù)b的值;
(2)當(dāng)a=1時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)0≤x≤1時關(guān)于x的不等式f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:對f(x)求導(dǎo)得:
f'(x)=﹣aln(x+1)+
根據(jù)條件知f'(0)=0,所以1﹣b=0,
故b=1
(2)解:當(dāng)a=1時,f(x)=(1﹣x)ln(x+1)﹣x,f(x)的定義域為(﹣1,+∞)
f'(x)=﹣ln(x+1)+ ﹣1=﹣ln(x+1)+ ﹣2
令f'(x)=0,則導(dǎo)函數(shù)零點x+1=1,故x=0;
當(dāng)x∈(﹣1,0),f'(x)>0,f(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)上,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
(3)解:由(1)知,f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣x,0≤x≤1
f'(x)=﹣aln(x+1)+ ﹣1
f'(x)=﹣
①當(dāng)a 時,因為0≤x≤1,有f'(x)≥0,于是f'(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,從而f'(x)≥f'(0)=0,
因此f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,即f(x)≥f(0)而且僅有f(0)=0;
②當(dāng)a≥0時,因為0≤x≤1,有f'(x)<0,于是f'(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,從而f'(x)≤f'(0)=0,
因此f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,即f(x)≤f(0)=0而且僅有f(0)=0;
③當(dāng)﹣ <a<0時,令m=min{1,﹣ },當(dāng)0≤x≤m時,f'(x)<0,于是f'(x)在[0,m]上單調(diào)遞減,從而f'(x)≤f'(0)=0
因此f(x)在[0,m]上單調(diào)遞減,即f(x)≤f(0)而且僅有f(0)=0;
綜上:所求實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]
【解析】(1)對f(x)求導(dǎo),根據(jù)條件知f'(0)=0,所以1﹣b=0;(2)當(dāng)a=1時,f(x)=(1﹣x)ln(x+1)﹣x,f(x)的定義域為(﹣1,+∞);令f'(x)=0,則導(dǎo)函數(shù)零點x+1=1,故x=0;
當(dāng)x∈(﹣1,0),f'(x)>0,f(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,+∞)上,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;(3)因為f(x)=(1﹣ax)ln(x+1)﹣x,0≤x≤1,對a進行分類討論根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得參數(shù)a使得不等式f(x)≥0;
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓為參數(shù),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線l的極坐標(biāo)方程為.
分別求圓的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
設(shè)直線交曲線于兩點,曲線于兩點,求的長;
為曲線上任意一點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數(shù),若函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2﹣3x+4與g(x)=2x+m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)求PD與平面PCE所成角的正弦值;
(3)在棱AB上是否存在一點F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求 的值;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=|x+2|﹣|2x﹣1|,M為不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求證:當(dāng)x,y∈M時,|x+y+xy|<15.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:“今有垣厚十尺,兩鼠對穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢?”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=( )
A.4
B.5
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著蘋果6手機的上市,很多消費者覺得價格偏高,尤其是一部分大學(xué)生可望而不可及,因此“國美在線”推出無抵押分期付款購買方式,某分期店對最近100位采用分期付款的購買者進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
頻 數(shù) | 35 | 25 | a | 10 | b |
已知分3期付款的頻率為0.15,并且店銷售一部蘋果6,顧客分1期付款,其利潤為1千元;分2期或3期付款,其利潤為1.5千元;分4期或5期付款,其利潤為2千元,以頻率作為概率.
(1)求事件A:“購買的3位顧客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(2)用X表示銷售一該手機的利潤,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(x)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員,日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元,每銷售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元,日銷售量不超過45件沒有提成,超過45件的部分每件提成8元.
(I)請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)從兩家公司各隨機選取一名推銷員,對他們過去100天的銷售情況進行統(tǒng)計,得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元),將該頻率視為概率,請回答下面問題:
某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作,如果僅從日均收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇,并說明理由.
【答案】(I)見解析; (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式,而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式,由此解得;(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列,從而可分別求得數(shù)學(xué)期望,進而可得結(jié)論.
詳解:(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為: .
乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為:
(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
122 | 124 | 126 | 128 | 130 | |
0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
120 | 128 | 144 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴僅從日均收入的角度考慮,我會選擇去乙公司.
點睛:求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:
第一步是“判斷取值”,即判斷隨機變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;
第二步是“探求概率”,即利用排列組合,枚舉法,概率公式,求出隨機變量取每個值時的概率;
第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;
第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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