Question

13．已知雙曲線(xiàn)C：${x^2}-\frac{y^2}{{{3^{\;}}}}=1$，A、B是雙曲線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，M是雙曲線(xiàn)上異于A、B的一點(diǎn)，直線(xiàn)MA、MB的斜率分別記為k₁，k₂，且k₁∈[-3，-1]，則k₂的取值范圍是[-3，-1]．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合k₁∈[-3，-1]，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵${{x}_{1}}^{2}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
∴兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=3
∵k₁∈[-3，-1]，∴k₂∈[-3，-1]．
故答案為：[-3，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程，考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)的斜率公式和點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．