Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣kx+k．
（Ⅰ）若f（x）≥0有唯一解，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）證明：當a≤1時，x（f（x）+kx﹣k）＜ex﹣ax2﹣1．
（附：ln2≈0.69，ln3≈1.10， ，e2≈7.39）

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）． 要使f（x）≥0有唯一解，只需滿足f（x）max=0，且f（x）max=0的解唯一，（1分） ，
①當k≤0時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，
所以f（x）≥0的解集為[1，+∞），不符合題意；
②當k＞0時，且 時，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；當 時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）有唯一的一個最大值為 ，
令 ，得k=1，此時f（x）有唯一的一個最大值為f（1），且f（1）=0，故f（x）≥0的解集是{1}，符合題意；
綜上，可得k=1．
（Ⅱ）要證當a≤1時，x（f（x）+kx﹣k）＜ex﹣ax2﹣1，
即證當a≤1時，ex﹣ax2﹣xlnx﹣1＞0，
即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0．（7分）
由（Ⅰ）得，當k=1時，f（x）≤0，即lnx≤x﹣1，從而xlnx≤x（x﹣1），
故只需證ex﹣2x2+x﹣1＞0，當x＞0時成立；
令h（x）=ex﹣2x2+x﹣1（x≥0），則h'（x）=ex﹣4x+1，
令F（x）=h'（x），則F'（x）=ex﹣4，令F'（x）=0，得x=2ln2．
因為F'（x）單調(diào)遞增，所以當x∈（0，2ln2]時，F(xiàn)'（x）≤0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，即h'（x）單調(diào)遞減，當x∈（2ln2，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，即h'（x）單調(diào)遞增，
所以h'（ln4）=5﹣8ln2＜0，h'（0）=2＞0，h'（2）=e2﹣8+1＞0，
由零點存在定理，可知x1∈（0，2ln2），x2∈（2ln2，2），使得h'（x1）=h'（x2）=0，
故當0＜x＜x1或x＞x2時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當x1＜x＜x2時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）的最小值是h（0）=0或h（x2）．
由h'（x2）=0，得 ，h（x2）= ，
因為x2∈（2ln2，2），所以h（x2）＞0，
故當x＞0時，h（x）＞0，所以原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）. ，（1分）
①當k≤0時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，所以f（x）≥0的解為[1，+∞），此時不符合題意；
②當k＞0時， ，
所以當 時，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；當 時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以 ， ，
令g（k）=k﹣lnk﹣1， ，
當k∈（0，1]時，g'（k）≤0，g（k）單調(diào)遞減，當k∈（1，+∞）時，g'（k）＞0，g（k）單調(diào)遞增，所以g（k）≥g（1）=0，由此可得當k＞0且k≠1時， ，
且當x→0+ ， x→+∞時，f（x）→﹣∞，由零點存在定理， ，
使得f（x1）=f（x2）=0，當x1≤x≤x2時，f（x）≥0，解集不唯一，不符合題意；
當k=1時，f（x）≤f（1）=0，所以f（x）≥0的解集是{1}，符合題意；
綜上可得，當k=1時，f（x）≥0有唯一解；
（Ⅱ）要證明當a≤1時，x（f（x）+kx﹣k）＜ex﹣ax2﹣1，
即證當a≤1時，ex﹣ax2﹣xlnx﹣1＞0，（因為ax2≤x2）
即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，（7分）
令F（x）=ex﹣x2﹣xlnx﹣1（x＞0），則F'（x）=ex﹣2x﹣lnx﹣1，
令G（x）=F'（x），則 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且G'（1）＜0，G'（2）＞0，
所以x0∈（1，2）使得G'（x0）=0，即 ，
所以當x＞x0時，G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增，即F'（x）遞增；
當0＜x＜x0時，G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減，即F'（x）遞減，
所以 ， ，
當x∈（1，2）時遞減，F(xiàn)'（x0）min＜H（1）=0，
當x→0時，F(xiàn)'（x）→+∞， ，
由零點存在定理，可得x1∈（0，x0）， ，F(xiàn)'（x1）=F'（x2）=0，
故當0＜x＜x1或x＞x2時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
當x1＜x＜x2時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當x→0+時，F(xiàn)（x）→0，由F'（x2）=0得， ， ，
又F（x2）= ，
令M（x）=﹣x2+2x+lnx﹣xlnx（ ），
則 在 遞減，且M'（1）=0，所以M'（x）＜0，
所以M（x）在 遞減， ，
所以當 ，M（x）＞0，即F（x2）＞0，
所以F（x）＞0，即原不等式成立．
【解析】解法一：（Ⅰ）要使f（x）≥0有唯一解，只需滿足f（x）max=0，且f（x）max=0的解唯一，分①當k≤0，②當k＞0 討論求解；（Ⅱ）要證當a≤1時，x（f（x）+kx﹣k）＜ex﹣ax2﹣1，即證當a≤1時，ex﹣ax2﹣xlnx﹣1＞0，即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0．由（Ⅰ）得xlnx≤x（x﹣1），故只需證ex﹣2x2+x﹣1＞0，當x＞0時成立；解法二：（Ⅰ）分①當k≤0時，②當k＞0時兩種情況求解，（Ⅱ）要證明當a≤1時，x（f（x）+kx﹣k）＜ex﹣ax2﹣1，即證當a≤1時，ex﹣ax2﹣xlnx﹣1＞0，（因為ax2≤x2），即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．