Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-mx²+nx+

4

3

．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值1，求m、n的值．
（2）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x軸平行，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因?yàn)閒（x）在x=2處取得極值1，所以f（2）=1且f′（2）=0，代入聯(lián)立即可求出m與n的值；
（2）根據(jù)切線與x軸平行得到切線的斜率為0即f′（2）=0，代入化簡(jiǎn)得到m與n的關(guān)系式，把關(guān)系式代入到導(dǎo)函數(shù)中消去n，令f′（x）=0解出x=2，x=2m-2，然后分2m-2大于2即m大于2，2m-2小于2即m小于2，2m-2等于2即m=2三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-2mx+n，函數(shù)f（x）在x=2處取得極值1
∴

f′(2)=0 f(2)=1

即

4-4m+n=0 8 3 -4m+2n+ 4 3 =1

解得

m= 5 4 n=1

；
（2）∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x軸平行，∴f′（2）=4-4m+n=0即n=4m-4
∴f′（x）=x²-2mx+n=x²-2mx+4m-4=（x-2）[x-（2m-2）]
①當(dāng)m＞2時(shí)，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
②當(dāng)m＜2時(shí)，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
③當(dāng)m=2時(shí)，f′（x）=（x-2）²≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，+∞）．
綜上所述，當(dāng)m＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2），（2m-2，+∞）；
當(dāng)m＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生掌握函數(shù)取極值時(shí)的條件，會(huì)利用x的取值范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道中檔題．