Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²，且函數(shù)g（x）有極大值點(diǎn)x₀，求證：x₀f（x₀）+1+ax₀²＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-2，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥$\frac{lnx-1}{x}$恒成立，令φ（x）=$\frac{lnx-1}{x}$（x＞0），則φ′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2ax+lnx$，得${g}^{'}（x）=x+\frac{1}{x}-2a=\frac{{x}^{2}-2ax+1}{x}$，分類討論求出a=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}$，由x₀f（x₀）+1+ax₀²=-$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{2}-\frac{{x}_{0}}{2}+{x}_{0}ln{x}_{0}$+1，令h（x）=-$\frac{{x}^{3}}{2}-\frac{x}{2}+xlnx+1$，x∈（0，1），則${h}^{'}（x）=-\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，利用構(gòu)造法推導(dǎo)出h′（x）＜0，由此能證明x₀f（x₀）+1+ax₀²＞0．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-2x，則${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-2，x＞0，
∴f（1）=-2，f′（1）=-1，
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．
（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx-2ax≤1，∴2ax≥lnx-1，
∵x＞0，∴2a≥$\frac{lnx-1}{x}$恒成立，
令φ（x）=$\frac{lnx-1}{x}$（x＞0），則φ′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜e²時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e²時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e²時(shí)，φ（x）取得極大值，也為最大值，故φ（x）_max=φ（e²）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
由2a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，得a≥$\frac{1}{2{e}^{2}}$，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2{e}^{2}}$，+∞）．
（Ⅲ）證明：由g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2ax+lnx$，得${g}^{'}（x）=x+\frac{1}{x}-2a=\frac{{x}^{2}-2ax+1}{x}$，
①當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，g（x）單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)a＞1或a＜-1時(shí)，令g′（x）=0，設(shè)x²-2ax+1=0的兩根為x₀和x′，
∵x₀為函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，∴0＜x₀＜x′，
由${x}_{0}{x}^{'}$=1，${x}_{0}+{x}^{'}=2a＞0$，知a＞1，0＜x₀＜1，
又由g′（x₀）=${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}-2a$=0，得a=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}$，
∵${x}_{0}f（{x}_{0}）+1+a{{x}_{0}}^{2}={x}_{0}ln{x}_{0}-\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}}{2}+1$=-$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{2}-\frac{{x}_{0}}{2}+{x}_{0}ln{x}_{0}$+1，0＜x₀＜1，
令h（x）=-$\frac{{x}^{3}}{2}-\frac{x}{2}+xlnx+1$，x∈（0，1），則${h}^{'}（x）=-\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，
令$μ（x）=-\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，x∈（0，1），則${μ}^{'}（x）=-3x+\frac{1}{x}=\frac{1-3{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，μ′（x）＞0，當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}＜x＜1$時(shí)，μ′（x）＜0，
∴μ（x）_max=μ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=ln$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1）=0，
∴x₀f（x₀）+1+ax₀²＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理論證能力與計(jì)算求解能力，屬于難題．