Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-3x-1，其定義域是[-3，2]．
（1）求f（x）在其定義域內(nèi)的極大值和極小值；
（2）若對于區(qū)間[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max-f（x）_min≤t即可，求出f（x）的最大值和最小值，從而求出t的范圍．

解答 解：（1）求導(dǎo)得f'（x）=3x²-3
令f'（x）=0得x=±1，∴x=±1為極值點------（2分）
令f'（x）＞0得-3≤x＜-1或1＜x≤2令f'（x）＜0得-1＜x＜1

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-19	增	極大值1	減	極小值-3	增	1

所以f（x）極大值為f（-1）=1，極小值為f（1）=-3------（6分）
（2）對于區(qū)間[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，
則只須f（x）_max-f（x）_min≤t即可------（8分）
由（1）可知f（x）_max=1，f（x）_min=-19，
t≥f（x）_max-f（x）_min=1-（-19）=20，即t≥20，
所以t的最小值為20------（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．