【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).

1)當時,求曲線處的切線方程;

2)如果對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】123)當時,函數(shù)有一個零點;當時,有三個零點.

【解析】

1)代入的函數(shù)解析式,求得導函數(shù)及切點坐標,由導數(shù)的幾何意義即可得切線方程;

2)求得導函數(shù),并對分類討論,即可確定的單調性,進而由不等式恒成立求得的取值范圍;

3)將的解析式代入可得解析式,結合基本不等式可知在時,函數(shù)有唯一零點;當時,可知為奇函數(shù),由可判斷的單調情況,進而構造,可證明當時,,進而可知當時,函數(shù)有唯一零點,即可判斷的零點個數(shù).

1)當時,,

可得,

則有,,即切點坐標為,

則切線方程為,

化簡可得.

2)函數(shù),

,

時,恒成立,則函數(shù)上單增,而,與恒成立矛盾,不合題意;

時,恒成立,則符合題意;

時,由,則上單調遞減,

上為單調遞增,

,解得

綜上:

3)因,

時,因為恒成立,

上為增函數(shù),而,則此時函數(shù)有唯一零點.

時,為奇函數(shù).

只需研究情形.

,

,則有

,,

上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

則有

下面證明:當時,

證明:令,則,

即函數(shù)上為增函數(shù),故有,

上為增函數(shù),故有,則

時,有,則,

,則,

因為為連續(xù)函數(shù),由零點存在性定理可得:存在唯一,使得,即當時,函數(shù)有唯一零點,也即此時函數(shù)有三個零點.

綜上:當時,函數(shù)有一個零點;當時,有三個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設橢圓E1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1的直線交橢圓EAB兩點.若橢圓E的離心率為三角形ABF2的周長為4.

1)求橢圓E的方程;

2)設不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C,D,設弦AB,CD的中點分別為M,N,證明:O,MN三點共線.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設小康社會,某地進行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調研和科學研判,準備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件,目前只有甲、乙兩種設備可以獨立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設備生產(chǎn)的部件中隨機抽取400件,對其核心部件的尺寸x,進行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質量標準規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x12|≤1為一級品,1<|x12|≤2為二級品,|x12|>2為三級品.

(Ⅰ)現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品,再從所抽取的40件產(chǎn)品中,抽取2件尺寸x∈[1215]的產(chǎn)品,記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[1415]的產(chǎn)品個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望;

(Ⅱ)將甲設備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時,需要進行檢驗.已知每箱有100件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的檢驗費用為50.檢驗規(guī)定:若檢驗出三級品需更換為一級或二級品;若不檢驗,讓三級品進入買家,廠家需向買家每件支付200元補償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機抽檢了10件,結果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率,以廠家支付費用作為決策依據(jù),問是否對該箱中剩余產(chǎn)品進行一一檢驗?請說明理由;

(Ⅲ)為加大升級力度,廠家需增購設備.已知這種產(chǎn)品的利潤如下:一級品的利潤為500元/件;二級品的利潤為400元/件;三級品的利潤為200元/件.乙種設備產(chǎn)品中一、二、三級品的概率分別是,.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤作為決策依據(jù).應選購哪種設備?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】中,設內角,的對邊分別為,,,且.

1)若,,成等比數(shù)列,求證:

2)若為銳角),.邊上的高.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)fx)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有fx+T=Tfx)成立.

1)函數(shù)fx=x是否屬于集合M?說明理由;

2)設函數(shù)fx=axa0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點,證明:fx=ax∈M;

3)若函數(shù)fx=sinkx∈M,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,大擺錘是一種大型的游樂設備,常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中,面向外.通常,大擺錘以壓肩作為安全束縛,配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉的同時,懸掛座艙的主軸在電機的驅動下做單擺運動.大擺錘的運行可以使置身其上的游客驚心動魄.今年元旦,小明去某游樂園玩“大擺錘”,他坐在點處,“大擺錘”啟動后,主軸在平面內繞點左右擺動,平面與水平地面垂直,擺動的過程中,點在平面內繞點作圓周運動,并且始終保持,,已知,在“大擺錘”啟動后,下列個結論中正確的是______(請?zhí)钌纤姓_結論的序號).

①點在某個定球面上運動;

②線段在水平地面上的正投影的長度為定值;

③直線與平面所成角的正弦值的最大值為;

④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某單位一輛交通車載有8個職工從單位出發(fā)送他們下班回家,途中共有甲、乙、丙3個停車點.如果某停車點無人下車,那么該車在這個點就不停車.假設每個職工在每個停車點下車的可能性都是相等的,求下列事件的概率:

1)該車在某停車點停車;

2)停車的次數(shù)不少于2次;

3)恰好停車2次.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案