Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且四邊形的周長(zhǎng)為.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交的軌跡于，兩點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出表達(dá)式，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，聯(lián)立兩個(gè)方程可得到參數(shù)值；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，又因?yàn)?/span>，得，代入橢圓方程得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到，求表達(dá)式的范圍即可.

詳解：(1)設(shè)點(diǎn)，分別為， ，由已知，所以，， ，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，

則，即，解得，，所以.

連接，因?yàn)?/span>，，所以四邊形為平行四邊形，

因?yàn)樗倪呅?/span>的周長(zhǎng)為，所以，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓(除去左右頂點(diǎn))，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.

(2)由題意可知該直線存在斜率，設(shè)其方程為且.

由得，

∴，得，

設(shè)，，，則，

由，得，

代入橢圓方程得，由得，

∴，

令，則，∴.