Question

【題目】已知△ABC和△A1B1C1滿足sinA=cosA1 ， sinB=cosB1 ， sinC=cosC1 ．
（1）求證：△ABC是鈍角三角形，并求最大角的度數(shù)；
（2）求sin2A+sin2B+sin2C的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由對(duì)稱性，不妨設(shè)A和B為銳角，則A= ﹣A1，B= ﹣B1，

所以：A+B=π﹣（A1+B1）=C1，

于是：cosC1=sinC=sin（A+B）=sinC1，即：tanC1=1，解得：C1=45°，

可得：A+B=45°，

所以：C=135°

所以：△ABC是鈍角三角形，且最大角為135°

（2）解：由（1）可知，△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°，設(shè)另兩個(gè)角分別為α，45﹣α，

則：sin2A+sin2B+sin2C= sin2α+sin2（45﹣α）= ﹣ （cos2α+sin2α）= ﹣ sin（45°+2α），

故：sin2A+sin2B+sin2C的最小值為 ﹣

【解析】（1）由已知等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)A和B為銳角，可求A= ﹣A1 ， B= ﹣B1 ， 解得A+B=C1 ， 結(jié)合已知可得cosC1=sinC=sinC1 ， 解得C1=A+B=45°，從而可求C=135°，即可得解．（2）由（1）可知，△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°，設(shè)另兩個(gè)角分別為α，45﹣α，利用三角函數(shù)降冪公式可得sin2A+sin2B+sin2C= ﹣ sin（45°+2α），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．