【題目】已知△ABC和△A1B1C1滿足sinA=cosA1 , sinB=cosB1 , sinC=cosC1 .
(1)求證:△ABC是鈍角三角形,并求最大角的度數(shù);
(2)求sin2A+sin2B+sin2C的最小值.
【答案】
(1)證明:由對(duì)稱性,不妨設(shè)A和B為銳角,則A= ﹣A1,B= ﹣B1,
所以:A+B=π﹣(A1+B1)=C1,
于是:cosC1=sinC=sin(A+B)=sinC1,即:tanC1=1,解得:C1=45°,
可得:A+B=45°,
所以:C=135°
所以:△ABC是鈍角三角形,且最大角為135°
(2)解:由(1)可知,△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°,設(shè)另兩個(gè)角分別為α,45﹣α,
則:sin2A+sin2B+sin2C= sin2α+sin2(45﹣α)= ﹣ (cos2α+sin2α)= ﹣ sin(45°+2α),
故:sin2A+sin2B+sin2C的最小值為 ﹣
【解析】(1)由已知等式的對(duì)稱性,不妨設(shè)A和B為銳角,可求A= ﹣A1 , B= ﹣B1 , 解得A+B=C1 , 結(jié)合已知可得cosC1=sinC=sinC1 , 解得C1=A+B=45°,從而可求C=135°,即可得解.(2)由(1)可知,△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°,設(shè)另兩個(gè)角分別為α,45﹣α,利用三角函數(shù)降冪公式可得sin2A+sin2B+sin2C= ﹣ sin(45°+2α),根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:),還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角CEMN的正弦值;
(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P是橢圓 在第一象限上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P引圓x2+y2=4的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別是A、B,直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N,則△OMN面積的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C: =1(y≥0),直線l:y=kx+1與曲線C交于A,D兩點(diǎn),A,D兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為點(diǎn)B,C.記△OAD的面積S1 , 四邊形ABCD的面積為S2 . (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1,0)時(shí),求k的值;
(Ⅱ)若S1= ,求線段AD的長(zhǎng);
(Ⅲ)求 的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB⊥BC,BA=BC,BD是邊AC上的高,沿BD將△ABC折起,當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí),該三棱錐外接球表面積為( 。
A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)旅游局欲將一塊長(zhǎng)20百米,寬10百米的矩形空地ABCD建成三星級(jí)鄉(xiāng)村旅游園區(qū),園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(如圖中陰影部分)以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,O為園區(qū)正門,園區(qū)北門P在y正半軸上,且PO=10百米。景觀湖的邊界線符合函數(shù)的模型。
(1)若建設(shè)一條與AB平行的水平通道,將園區(qū)分成面積相等的兩部分,其中湖上的部分建成玻璃棧道,求玻璃棧道的長(zhǎng)度。
(2)若在景觀湖邊界線上一點(diǎn)M修建游船碼頭,使得碼頭M到正門O的距離最短,求此時(shí)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
(3)設(shè)圖中點(diǎn)B為倉(cāng)庫(kù)所在地,現(xiàn)欲在線段OB上確定一點(diǎn)Q建貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站,將貨物從點(diǎn)B經(jīng)Q點(diǎn)直線轉(zhuǎn)運(yùn)至點(diǎn)P(線路PQ不穿過景觀湖),使貨物轉(zhuǎn)運(yùn)距離QB+PQ最短,試確定點(diǎn)P的位置。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過點(diǎn)P(1,﹣1)可作圓的兩條切線,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣a(lnx+x).
(1)若函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(2)若對(duì)任意x>0,恒有不等式f(x)≥1成立. ①求實(shí)數(shù)a的值;
②證明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.
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