Question

對(duì)任意n∈N^*，3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹都能被14整除，則最小的自然數(shù)a=

5

．

Answer 1

分析：3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹ 即

C

0 2n+1

•14²ⁿ⁺¹•5⁰+

C

1 2n+1

•14²ⁿ•5+

C

2 2n+1

•14^2n-1•5²+…+

C

2n 2n+1

•14•5²ⁿ+

C

2n+1 2n+1

•14⁰•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹，除了最后兩項(xiàng)外，其余的
項(xiàng)都能被14整除，故最小的自然數(shù)a滿足

C

2n+1 2n+1

•14⁰•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=0，由此求得a的值．

解答：解：3⁴ⁿ⁺²+a²ⁿ⁺¹=9²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=（14-5）²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹
=

C

0 2n+1

•14²ⁿ⁺¹•5⁰+

C

1 2n+1

•14²ⁿ•5+

C

2 2n+1

•14^2n-1•5²+…+

C

2n 2n+1

•14•5²ⁿ+

C

2n+1 2n+1

•14⁰•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹，
除了最后兩項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都能被14整除，故最小的自然數(shù)a滿足

C

2n+1 2n+1

•14⁰•5²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=0，
求得a=5，
故答案為 5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．