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（2013•南京二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
3       5
0    -2
．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）設向量β=
   1   
-1
，求A5β．
分析：（1）根據題意給出矩陣A的特征多項式f（λ）=（λ-3）（λ+2），從而解出兩個特征值分別為3和-2．再分別將3和-2回代到二元一次方程組，即可解出相應的特征向量．
（2）由（1）的結論得向量β是矩陣A的屬于特征值-2的一個特征向量，利用特征向量的定義與性質即可算出A5β的值．
解答：解：（1）矩陣A的特征多項式為f（λ）=
.
λ-3-5
0λ+2
.
=（λ-3）（λ+2）
令f（λ）=0，得λ=3或λ=-2
將λ=3代入二元一次方程組，得
0•x-5y=0
0•x+5y=0
，解之得y=0
∴矩陣A屬于特征值3的特征向量為
1 
0 

將λ=-2代入二元一次方程組，得
-5x-5y=0
0•x+0•y=0
，取x=1得y=-1
∴矩陣A屬于特征值-2的特征向量為
1 
-1 
；
（2）由（1）知，向量β是矩陣A的屬于特征值-2的一個特征向量
∴A5β=λ5β=-32
1 
-1 
=
32 
-32 
．
點評：本題給出二階矩陣，求矩陣A的特征值和特征向量．著重考查了特征向量的定義、求法及其性質等知識，屬于中檔題．
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