【題目】圖一是美麗的“勾股樹”,它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖二是第1代“勾股樹”,重復(fù)圖二的作法,得到圖三為第2代“勾股樹”,以此類推,已知最大的正方形面積為1,則第代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第1代“勾股樹”中,小正方形的個數(shù)3=21+1﹣1=3,所有正方形的面積之和為2=(1+1)×1,第2代“勾股樹”中,小正方形的個數(shù)7=22+1﹣1,所有的正方形的面積之和為3=(2+1)×1,以此類推,第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)為2n+1﹣1,第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為:(n+1)×1=n+1.
解:第1代“勾股樹”中,小正方形的個數(shù)3=21+1﹣1=3,
如圖(2),設(shè)直角三角形的三條邊長分別為a,b,c,
根據(jù)勾股定理得a2+b2=c2,
即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,
所有正方形的面積之和為2=(1+1)×1,
第2代“勾股樹”中,小正方形的個數(shù)7=22+1﹣1,
如圖(3),正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積,
正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積,
正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,
所有的正方形的面積之和為3=(2+1)×1,
…
以此類推,第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)為2n+1﹣1,
第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為:(n+1)×1=n+1.
故選:A.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,,且.
(1)當(dāng)時,函數(shù)在處的切線與直線平行,試求m的值;
(2)當(dāng)時,令,若函數(shù)有兩個極值點,且,求 的取值范圍;
(3)當(dāng)時,試討論函數(shù)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.
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【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個.命中個數(shù)的莖葉圖如圖,則下面結(jié)論中錯誤的一個是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,且橢圓過點.過點做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若, ,探究:直線是否過定點?若是,請求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時,若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某高中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間頻(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中上學(xué)路上所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.
(1)求直方圖中的值;
(2)如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿,若招生 1200名請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿;
(3)從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生,這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于 40分鐘的人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率).
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【題目】天水市第一次聯(lián)考后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析,
規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,
得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計 | 110 |
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號,先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號。試求抽到9號或10號的概率。
參考公式與臨界值表:。
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點在軸上,焦距為4,且經(jīng)過點;
(2)雙曲線的焦點在軸上,右焦點為,過作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點,且,離心率為.
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